• Tensor ? (How this could be simplified for practical use in geometry)

    From hanporop@luukku.com@21:1/5 to All on Wed Aug 8 04:16:18 2018
    Tensor

    I. Tensor uber einem Vektorraum. (COPY)

    (B_1,B_2,…,B_r) sei eine Folge von r Vektor-räumen uber demselben Körper K (R or C usually).

    Jedem r-tupel (v_1,…,v_r) von Vektoren v_i (in) B_i sei ein Skalar A(v_1,…,v_r) aus K so zugeordnet, so daz A in jedem der r Argumente linear ist, d.h., es soll fur jedes I = 1,…,r gelten

    (1) A(v_1,…,u_i+v_i,…,v_r) = A(v_1,…,u_i,…,v_r)+A(v_1,…,v_i,…,v_r)

    (2) A(v_1,…,av_i,…,v_r) = aA(v_1,…,v_i,…,v_r) .

    Dann heist A eine Multilinearform uber (B_1,B_2,…,B_r).

    Im Falle r = 2 spricht man auch von einer Bilinearform, im Falle r = 3 von einer Trilinearform usw.

    Es sei B ein gegebener n-dimensionaler Vektorraum uber K und B^* sein Dualraum (>Linearform) Jeder Vektorraum der Folge (B_1,B_2,…,B_r) sei mit B order B^* identisch, und zwar komme B^* in der Folge (B_1,B_2,…,B_r) genau p-mal und B genau q-mal vor,
    0<=p<=r, 0<=q<=r, p+q=r .

    Dann nennt man jede Multilinearform uber (B_1,B_2,…,B_r) einer p-stufig kontravarianten und q-stufig kovarianten Tensor uber B .

    Ist q=0 bzw. p=0, so spricht man von einem (rein) kontravarianten bzw. kovarianten Tensor der Stufe p bzw q .

    Ist dagegen p <>0 und zugleich q<>0, so spricht man von gemischten Tensor der Stufe (p,q) oder p+q, fur Stufe wird auch Valenz order Ordnng gesagt.

    Offenbar sind die rein kovarianten Tensor erster Stufe mit den kovarianten Vektoren (>Vektorraum) d.h. den Vektoren aus B^* identisch, und da B^** mit B identifiziert warden darf, kann man die rein kontravarianten Tensor erster Stufe als die
    kontravarianten Vektoren, d.h. die Vektoren von B ansehen.

    Als Tensor der Stufe p=q=0 (also r=0) werden die Skalare, dh. Die Elemente von K definiert.

    Tensor mit p+q=2 können auch als lineare Abbildungen von B in B, bzw. B in B^*, B^* in B, B^* in B^* definiert werden.

    Ist beispielsweise P eine lineare Abbildung von B in B^*, dh gilt P(u+v) = P(u) + P(v) und P(au) = a P(u), so ist A(v_1,v_2) = v_1A(v_2) eine Bilinearform uber (B,B), stelt also einen rein kovarianten Tensor der Stufe 2 dar.

    Betrachtet man umgekehrt A(v_1,v_2) als Linearform w_v_1(v_2) in v_2 , so ist P(v_1) = w_v_1 eine lineare Abbildung von B in B^* .

    Zwei Tensor A, B uber derselben Folge (B_1,B_2,…,B_r) nennt man gleichartig. Es mussen also nicht nur die Stufenzahlen p,q ubereinstimmen , sondern die Aufeinanderfolge von B und B^* in (B_1,B_2,…,B_r) muz fur A und B die gleiche sein.

    Die menge aller zu einem Tesor gleichartigen Tensor bildet einen Vektorraum B^p_q uber K der Dimension n^(p+q) , wenn als Tensorsumme

    (A+B)(v_1,…,v_r) = A(v_1,…,v_r) + B(v_1,…,v_r)

    Und als Produkt mit einem Skalar

    (aA) (v_1,…,v_r) = aA(v_1,…,v_r)

    definiert wird.

    B^p_q ist – bis auf naturliche Isomorphie – der Dualraum zum Tensorprodukt B_1¤,…,¤B_r von B_1,…,B_r .

    Umgekert kann auch das Tensorprodukt von Vektorräumen als Grundlage dienen, um Tensor als Elemente des Tensorprodukts von Vektorräumen zu definieren (vgl. dazu die in II gegebene Erkärung fur den Tensor uber einem beliebigen (unitären) K-Modul).

    Es ist auch eine allgemeinere Erkärung des Tensor al seine beliebige Multilinearfrm bzw. als Element eines Tensorproduktes von Vektorräumen mit verschiedenen Dimensionen gegben worden [1], [2]; dann können die verschedenen Indizes eines Tensor von 1
    bis zu verschiedenen naturlichen Zahlen variieren.

    Derartige Tensor sind Verbindungsgrözen (>Grözen).

    e_1,…,e_n sei eine Basis in B und e^1,…,e^n bezeichne die duale Basis.

    Ist dann A ein Tensor uber (B_1,B_2,…,B_r) und etwa B_1 = … = B_p = B^*, B_p+1 = … = B_r = B , so heizen die Skalare

    A^i_1…i_p _# … # _k_1…k_q = A(e^i_1,…,e^i_p, e_k_1,…,e_k_q)

    (# = . and _# … # means that these are written as lower index place just below ^i_1…i_p)

    Die Bestimmungszahlen (Koordinaten order Komponenten) des Tensor bzw. der gegebenen Basis, und es gilt

    A(v_1,…,v_r) = Sum A^i_1…i_p _# … # _k_1…k_q v_i_1^(1)…v_i_p^(p) v^k_1_(1)…v^k_q_(q) ,

    Wobei die v_i^(f), bzw. v^k_(g) die Koordinaten des Vektors v_f (in) B^* bzw. v_(p+f ) (in) B sind.

    (Sum is taken over i_1…i_p and k_1…k_q), (# = . and _# … # means that these are written as lower index place just below ^i_1…i_p)
    Die hochstehenden Indizes i_f nennt man kontravariante, die tiefstehenden k_f kovariante Indizes.

    Dabei ist auf die Reihenfolge der Indizes zu achten.

    Ist z.B. p=1, q=2 und A ein Tensor uber (B,B^*,B), so schreibt man seine Bestimmungszahlen A^#i_k#m , A^##i_km sind dagegen die Koordinaten eines Tensor, welcher der Folge (B,B,B^*) entspricht, und dieser Tensor ist mit dem ersten nicht gleichartig.

    (A^#i_k#m, first # is . above k index, second # is . between k and m index and below upper i index) (A^##i_km, ## is .. before upper i index and above k and m indexes)

    Bei einer Basistransformation

    E_i = Sum C^#k_i e_k ,

    E^i = Sum C^i_#k e^k ,

    (Sum s taken over k = 1…n)

    [(C^#k_i) ist die zu (C^i_#k) kontragrediente Matrx, das ist de Inverse der transponierten Matrix]

    (C^#k_i , # is . above lower index I and before upper index k)

    (C^i_#k, # is . below upper index I and before lower index k)

    Transformationsweise

    H^r_1…r_p_#...#s_1…s_q = Sum A^i_1…i_p_#...#k_1…k_q C^r_1_#i_1…C^r_p_#i_p C^#k_1_s_1…C^#k_q_s_q

    (Sum is taken over i_1…i_p and k_1…k_q)

    Diese Transformationsweise ist characteristic fur Tensorkoordinaten und kann auch zur Definiton des Tensor (>Gemetrisches Objekt) benutzt werden.

    Geht man von einem Tensor A uber (B_1,B_2,…,B_r) aus und setzt man fur irgendeine Permutation (i_1,…,i_r) der Indizesreihe (1,…,r) und v_f (in) B_f (f = 1,…,r)
    G(v_i_1,…v_i_r) = A(v_#,…,v_r) , so ist G ein Tensor uber (B_i_1,…,B_i_r).

    Man sagt, die beiden Tensor A und G seien isomer.

    Isomere Tensor sind nur gleichartig, wenn die Folge (B_i_1,…,B_i_r) mit (B_1,B_2,…,B_r) identisch ist; z.B. sind A^i_#km und G^#i_m#k (G^i_m#k = A^i_#km) ismer, aber ungleichartig.

    Sind alle Isomere eines rein kontravarianten Tensors A identisch, d.h. gilt
    A(v_i_1,…,v_i_r) = A(v_1,…,v_r)
    Fur jede Permutation (i_1,…,i_r), so heist A symmetrisch.

    In der älteren Literatur ist fur Tensor die Bezeichnung Affinor ublich, und Tensor wird nur in der engeren Bedeutung eines symmetrischen Affinors gebraucht.
    Gilt fur alle Permutationen (i_1,…,i_r)
    A(v_i_1,…,v_i_r) = sign(i_1,…,i_r) A(v_1,…,v_r)
    So heizt A alternierend (schiefsymmetrich, antisymmetrich).

    In der Tensoralgebra finden auzer der schon betrachteten Tensoraddition un Multiplikation mit einem Skalar noch folgende algebraische Operationen Anwendung: Mischung, Alternation, Faltung, Tensormultiplikation und Uberschiebung (Bez. Des äuzeren
    Produktes: Multivektor), von denen die Mischung jedoch nur möglich ist, wenn Char. (K) = 0.

    Bildet man alle Isomere eines Tensors A, die man erhält, indem man s gegebene kontravariante (bzw. kovariante) Indizes (Argumentstellen) auf alle möglichen Weisen permutiert, summiert man dann diese Isomere und dividiert die Summe durch s! , so
    sagt man, der so entstehende Tensor gebe aus A durch mischung uber die s gegebenen Indizes hervor.

    Versieht man bei der Summenbildung noch jedes Isomer mit dem Vorzeichen der zugehörigen Permutation, so ergibt sich der Prozez der Alternation.

    Die Bezeichnungsweise (nach Schouten [2]), werde durch folgende Beispiele erläutert:

    A^####m_(i/j/kl) = (1/6)( A^####m_ijkl+A^ ####m_ijlk+A^####m_kjli+A^####m_kjil+A^####m_ljik+A^####m_ljki );
    G^[k,l]_#j = (1/2) ( G^k#l_#j)- G^l#k_#j ) ,

    (/ means vertical line)

    Runde Klqammern bedeuten also Mischung uber die eingeschlossenen Indizes, eckige Klammern Alternation; zwischen senkrechten Strichen stehende Indizes warden nicht permutiert.

    Bildet man die Summe

    Sum A^i_1…i_u-1 m i_u+1…i_p _#...# # ## #...#k_1..k_f-1/k_f+1…k_q

    So erhält man die Koordinaten eines (p-1)-stufig kontravarianten und (q-1)-stufig kovarianten Tensor.

    Man sagt, dieser Tensor gehe aus dem ursprunglichen durch Faltung (Verjungung, Kontraktion) bzw. des u-ten kovarianten und des f-ten kovarianten Index hervor.
    Die Faltung ist unabhängig von der gewählten Basis.

    Ist A ein Tensor uber (B^’_1,…,B^’_r) und G ein Tensor uber (B^’’_1,…,B^’’_s) so ist

    A(v^’_1,…,v^’_r)G(v^’’_1,…,v^’’_s)

    Mit v^’_i (in) B^_i , v^’’_i (in) B^’’_i eine Multilinearform uber (B^’_1,…,B^’_r, B^’’_1,…,B^’’_s) und definiert mithin wieder einen Tensor , das Produkt AG der Tensor A und G (>Tensorprodukt).

    Hat z.B. A die Koordinaten A^#i_k#l nd G die Koordinaten G^#r_s , so hat C = AG die Koordinaten

    C^#i##r_k#ls = A^#i#_k#l G^#r_s .

    Unter einer Uberschiebung versteht man tensorielle Multiplikation zweier Tensor, gefolgt von einer Faltung bez. Zweier ungleichstelliger Indizes, die zu verschiedenen Faktoren gehören, z.B. Sum A^i_#k G^kl .

    Bei den Operationen der Faltung und Uberschiebung last man der Kurze wegen das Summationzeihchen weg, indem man vereinbart, daz uber gleich bezeichnete indizes, die in einem Faktor oben und im anderen unten stehen, zu summieren ist, man schreibt also
    A^i_#k G^kl statt des obigen Ausdrucks (>Einsteinsche Summationsbezeihnung). Die Tensorrechnung uber einem euklidischen Vektorraum B vereinfact sich dadurch, daz B sein einiger Dualraum ist (B^* = B).

    Der Unterschied zwischen kovarianten und kontravarianten Tensor fällt dann weg. Verwendet man eine allgemeine Basis e_1,…,e_n und die dazu duale (reziproke) e^1,…,e^n , so empfiehlt es sich, die Stellung der Indizes beizubehalten: Ein Index wird
    hochgestellt, wenn fur die Vektoren in der dem Index entsprechenden Argumentstelle die reziproke Basis verwendet wird.

    Ein Tensor hat dann verschiedene Sorten von Koordinaten, je nachdem, an welchen Argumentstellen man die reziproke Basis verwendet.

    Der Ubergang von der einen Sorte von Koordinaten zu einer anderen geschicht durch Uberschiebungen des Tensor mit dem Fundamentaltensor: z.B.

    A^ìk = g^kl A^i_#l

    (Heraufzichen eines Index),

    A_ijk = g_jr g_ks A^#rs_i

    (Heraufzichen von zwei Index) .

    Beschränkt man sich durchweg auf orthonormale Basen, so darf man in den Koordinaten eines Tensor alle Indizes tiefstellen und der Unterschied von kovarianten und kontravarianten Indizes fällt ebenfalls weg.

    [1] A. Lichnerowicz, Elements de calcul tensoriel. Paris 1951.

    [2] J.A. Schouten, Ricci-calculus, Berlin 1954.

    M. Lagally, Vorlesungen uber Vektorrechnng, Leipzig 1949.

    J.L. Synge u. A. Schild, Tensor-calculus, Tornto 1949.

    II. Tensor uber einem R-Modul. (COPY)

    R sei ein kommutativer Ring mit Einselment, B ein unitärer R-Rechtmodul (>R-Modul).

    Jedes Element eines Tensorproduktes B_1¤…¤B_r , wobei B_i fur p Werte von I gleich B und fur q Werte von I gleich dem dualen Modul B^* (>Linearform) ist, heist p-stfig kontravarianter, q-stufig kovarianter Tensor uber B (entsprehend fur unitäre R-
    Linksmoduln).

    Im Fale q=0 erhält man die kontravarianten Tensor der Stufe p, im Falle p=0 die kovarianten Tensor der Stufe q und im Falle p,q<>0 die gemischten Tensor der Stufe p+q.

    Die Tensor von der Form v_1¤…¤v_p+q , v_i (in) B_i , die ja B_1¤…¤B_p+q erzeugen, heizen zerlegbar.

    Das Tensorprodukt eines p-stufig kontravaianten, q-stufig kovaianten Tensor mit einem p^’-stufig kontravarianten, q^’-stufig kovarianten Tensor kann aufgefazt werden als (p+p^’)-stufig kontravarianter, (q+q^’)-stufig kovarianter Tensor.

    Die mesten der in I. aufgefuhrten Begriffe und Eigenschaften lassen sich in naturlicher Weise ubertragen, zumindest wenn B insbesondere ein Vektorraum uber R mit endlicher Basis ist: Koordinaten, deren Transformationsweise bei Basiswechsel, symmetrischer
    Tensor, (>Symmetrische lineare Abbildung), antismmetrischer Tensor, alternierender Tensor, Verjungung, Uberschiebung; dabei ist immer zu beachten, daz hier – im Anschluz an [1] und im Gegensatz zu Abschnitt I.

    Tensor als Elmente des Tensorprodukts B_1¤…¤B_r , und nicht als Linearformen auf B_1¤…¤B_r erkrt sind.

    Z.B. versteht man bei einem zerlegbaren Tensor

    V_1¤…¤v_p¤w_1¤…¤w_q = Tensorprodukt v_i ¤ Tensorprodukt w_i

    ( v_i (in) B, w_i (in) B^* )

    ((in) = belong, First Tensorprodukt is taken i = 1…p and
    second Tensorprodukt is taken i = 1…q)

    unter Kontraktion des u-ten kontravarianten aund f-ten kovarianten Index (1<=u<=p, 1<=f<=q)
    den Ubergang zu
    (Tensotprodukt v_i¤ Tensorprodukt w_i) w_f (v_u) .

    (First Tensorprodukt is taken i = 1…r, i<> u and
    second Tensorprodukt is taken i = 1…q, i<>f)

    [1] N. Bourbaki, Elements de mathematique, I. Partie, Livre II, chap. 3, Paris 1948.
    G. Pickert, Enz. Math. Wiss., I 1, 6, Leipzig 1953.

    REFERENCE:
    Naas, J., Schmid, H. L., 1961.
    Mathematisches Wörtebuch. Mit Einbeziehung der Theoretischen Physik.
    Band II.
    Akademie-Verlag GMBH B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Berlin Stuttgart. Printed in Germany. 952 pages, pp. 707-710. ”Tensor”.

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