Multivektor

(COPY)

(vollständig alternierender Tensor, p-Vektor)

ist ein rein kovarianter order rein kontravarianter, in allen Indizes alternierender Tensor mit der Stufenzahl p uber einem n-dimensionalen
Vektorraum V.

Ein 1-Vektor ist ein Vektor von V.

Einen 2-Vektor nennt man auch Bivektor, einen 3-Vektor Trivektor
usw. p-Vektoren mit p > n verschwinden identish und bleiben
daher auzer Betracht.

Bei Grazmann heizen die Multivektor zusammengesetzte Grözen oder Komplexgrözen.

Aus zwei kovarianten Multivektor A, B der Stufen p, q leitet man durch Multiplikation und nachfolgende Alternation (> Tensor) uber santliche
Indizes einen
kovarianten (p+q)-Vektor [A,B] ab.

Die Koordinaten von [A,B] sind demnach

(1/(p+q)!) Summe sign P(i_1…k_q) C_i_1…k_q ,

wenn

C_i_1…i_p k_1…k_q = A_i_1…i_p * B_k_1…k_q

gesetzt wird.

Dabei ist die Summe von allen Permutationen P der p+q Indizes
(i_1…i_p, k_1…k_q) zu bilden.

[A,B] heizt nach Grazmann ”progressives Produkt”,
nach Schouten ”alternierendes Produkt”,
nach E. Cartan ”äuzeres Produkt”
(jedoch ist bei Cartan der Faktor 1/(p+q)! durch ersetz).

Das äuzere Produkt ist assoziativ, man definiert daher auch äuzere Produkt von mehr als zwei Faktoren z.B.

[A,B,C] = [A,[B,C]] = [[A,B],C] .

Es gilt

[A,B] = (-1)^pq [B,A] .

Fur p+q > n ist [A,B] = 0 .

Ein Multivektor D heist Divisor des Multivektor B,
wen nein Multivektor A existiert, so daz

[A,D] = B .

Entsprechend wird das äuzere Produkt von kontravarianten Multivektor definiert.

Das äuzere Produkt kontravarianter Vektoren A und B wird auch durch {A,B} bezeichnet (^).

Ein p-Vektor heizt einfach (einblättrig,
nach Grazmann ”einfache Gröze” p-ter Stufe),
wenn er als äuzeres Produkt von p kovarianten
bzw. kontravarianten Vektoren darstellbar ist.

Jeder n-Vektor und (n-1)-Vektor ist einfach.

Die sämtlichen kovarianten (bzw. Kontravarianten)
Multivektor der Stufe p uber V bilden bez. der
Tensoraddition und der Multiplikation
mit einem Skalar einen Vektorraum V_p (V^p)
der Dimensionen (n)/(p) (Binom. Koeff.).

Ist e_1,…e_n eine Basis aus V, e^1,…e^n die duale Basis,
so bezeihnen E^i_1…i_n
die Koordinaten des n-Vektors n![e_1,…,e_n];

seine Komponenten sind 0, wenn zwei Indizes gleich sind;

sie sind 1, wenn i_1…,i_n eine gerade Permutation von 1,…,n ist,

sonst -1.

Analog ensteht der n-Vektor n![e^1,…,e^n] mit
den Komponenten e_i_1,…,e_i_n die auch 0, +-1 sind.

Durch (1)

w^i_1…i_p = v_k_1…k_q E^k_1…k_q i_1…i_p

v ist in V_q, p+q=n .

bzw. (2)

w_k_1…k_q = e_k_1…k_q i_1…i_p v^i_1…i_p

v ist in V^p

wird ein Isomorphimus von V_q auf V^n-q (bzw. V^p auf V_n-p) definiert.

Dieser Isomorphimus hängt jedoch von der Wahl der Basis ab.

Der Multivektor w^i_1…i_p bzw. w_k_1…k_q heizt die Ergänzung order
der adjungierte Tensor des Multivektor.

v_k_1…k_q bzw. v^i_1…i_p bez. der gegebenen Basis.

Beim Ubergang zu einer anderen Basis werden die w^i_1…i_p
bzw. w_k_1…k_q wie die Koordinaten einer rein kontravarianten
(bzw. kovarianten) Tensordichte wom Gewicht 1
(bzw. -1) transformiert.

Mann kann daher (1) auch denten als einen Isomorphismus von V_q (bzw. V^p) auf den Vektorraum der kontravarianten (bzw. kovarianten) p- bzw. q-Vektordicten, und dieser Isomorphimus ist von der Wahl der Basis unabhängig.

Kontravariante p-Vektoren durfen daher mit den kovarianten
(n-p)-Vektordichten identifiziert und kovariante q-Vektoren mit den kontravarianten (n-q)-Vektordichten.

Liegt ein orientierter euklidisher Vektroraum V zugrunde und
wählt man als Basis e_1,…,e_n ein orthonormales Rechtssystem,

so wird der Isomorphimus zwischen V_q und V^n-q (bzw. V^p und V_n-p)
von der Wahl einer solchen Basis unabhängig, so daz man,
da auch der Unterschied zwischen ko- und kontravarianten wegfällt,
die (n-p)-Vektoren mit den p-Vektoren identifizieren darf.

Inbesondere kann man fur n = 3 jeden Bivektor mit einem Vektor identifizieren.

Diese Identifizierung hängt naturlich von der Orientierung des Vektorraumes ab.

Man nennt die Bivektoren des dreidimensionalen euklidischen Vektorraumes
auch axiale (rotatorische) Vektoren und die Vektoren von V selbst
polare (translatorische) Vektoren.

Ferner ist im klassischen Fall ( n = 3) daz äuzere Produkt
zweier Vektoren u , v ein Bivektor.

Die Identifizierungsvorschrift nach (1) liefert den Vektor mit den Koordinaten

w_1 = u_2 v_3 – u_3 v_2,
w_2 = u_3 v_1 – u_1 v_3,
w_3 = u_1 v_2 – u_2 v_1 .

w (vektor) heizt das äuzere Produkt (Vektorprodukt, vektorielle Produkt)
und wird mit u x v, [u,v] order auch {u,v} (^) (u, v Vektors) bezeichnet.

Grazmann bildet auzer diesem progressiven Produkt noch ein sogenanntes regressives Produkt:

Sein A, B zwei kovariante (bzw. kontravariante) Multivektoren
der Stufenzahlen p und q, (p+q > n).

Man bilde bez. einer festen Basis die Ergänzungen A’ und B’ von A und B.

Dann heizt die Ergänzung von [A’,B’] bew. derselben Basis das regressive Produkt von A und B.

Es ist von der Wahl der Basis unabhängig.

Äuzere Potenz eines Moduls).

Reference:

Naas, J., Schmid, H. L., 1961.
Mathematisches Wörtebuch. Mit Einbeziehung der Theoretischen Physik.
Band II.
Akademie-Verlag GMBH B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Berlin Stuttgart. Printed in Germany. 952 pages, pp. 209-210. ”Multivektor”.

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